La matematica è un gioco in cui le regole sono definite a priori e non possono essere più modificate. Le regole di base si chiamano assiomi. Gli assiomi sono regole di natura fondamentale, talmente evidenti che non hanno bisogno di dimostrazione. A titolo di esempio, un assioma è il seguente: “Il tutto è più grande di una parte”. Banalmente vero, l’assioma in questione non ha bisogno di essere dimostrato.

Altra categoria di regole sono i postulati. A questa categoria appartengono tutte quelle regole anch’esse di natura fondamentale,  a volte di natura assiomatica, che non risultano evidenti, ma che saranno assunte come tale. Il primo postulato di Euclide è il seguente: “Tra due punti ben distinti di un piano passa una e una sola retta”. Effettivamente anche questo è chiaro, però dovremo ammettere che non è chiaro come l’esempio dell’assioma, ma possiamo accettarlo senza dimostrazione.

Tutte le altre regole ed ogni regola apparentemente nuova appartiene alla categoria dei teoremi. Un teorema è una regola matematica che deve necessariamente essere dimostrata. La dimostrazione di un teorema può essere costruita utilizzando gli assiomi e i postulati.

Se una dimostrazione è costruita con assiomi e postulati, allora il teorema entra a far parte delle regole della matematica. Dal momento in cui appare dimostrato il teorema, esso potrà essere invocato senza doverlo dimostrare successivamente. Il teorema può far parte anche di una futura dimostrazione di un altro teorema.

La dimostrazione deve essere esaustiva,  deve  comprendere tutti i casi possibili. Si deve, in pratica, dimostrare che il teorema è sempre vero, in tutto il campo numerico dichiarato.